Chapter 4

\n
\n

Recreational Mathematics

\n
\n

P-Forms, Exterior Product, Interior Product

\n
\n

4.1.1 Covariant Antisymmetric Tensors, Exterior and Interior Products

\n
\n

Rank-p covariant antisymmetric tensors are called p-forms and are written as:

\n
\n

\\[ w = \\omega_{a_1 \\ldots a_p} \\otimes \\ldots \\otimes \\omega_{a_p}, \\text{ where } w[a_1 \\ldots a_p] = \\omega_{a_1 \\ldots a_p}. \\]

\n
\n

The space of these forms is denoted \\( \\Lambda^p \\): \\( \\Lambda = \\bigcup \\Lambda p \\), \\( \\bigcup \\Lambda p = \\binom{p}{p} \\).

\n
\n

Let \\( L \\), \\( P \\) be a p-form, a q-form, respectively. We may define the exterior product of \\( L \\) and \\( P \\) the following way:

\n
\n

\\[ L \\otimes P = \\frac{(P + L)!}{P! q!} (L \\otimes P)_a, \\]

\n
\n

where \\( (L \\otimes P)_a \\) is the antisymmetric tensor product.

\n
\n

Example: if \\( L \\) and \\( P \\) are one-forms, \\( (L \\otimes P)_a = \\frac{1}{2} (L \\otimes P) \\cdot P \\).

\n
\n

\\[ L \\otimes P = \\frac{1}{2} (L \\otimes P) \\cdot P \\cdot P = \\frac{1}{2} (L \\otimes P) \\cdot P \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\cdot P \\cdot \\ldots \\

OCR Model Comparison